ปริศนาความน่าจะเป็นที่ยากที่สุดในโลก

 1

 ปริศนามอนตี ฮอลล์ (Monty Hall Problem) เป็นหนึ่งในปัญหาเรื่องความน่าจะเป็นที่ยากที่สุดในโลก แม้ว่าปัญหานี้จะเข้าใจได้ไม่ยาก แต่มันทำให้หลายคนแม้แต่นักคณิตศาสตร์ระดับโลกถึงกับเงิบและได้คำตอบผิดๆ มาแล้ว

 ปัญหาข้อนี้ถูกตั้งตามชื่อ มอนตี ฮอลล์ ผู้ดำเนินรายการเกมโชว์อเมริกันชื่อ Let’s Make a Deal ซึ่งมีรูปแบบดังนี้

 ในรายการจะมีประตูสามบาน หนึ่งในด้านหลังของประตูนั้นมีรถยนต์ อีกสองบานมีแพะ

 ผู้ร่วมรายการต้องเลือกประตูหนึ่งบาน ซึ่งถ้าโชคดีก็จะได้รถยนต์กลับบ้านไป สมมติว่าเลือกประตูเบอร์ 1 จากนั้นเพื่อให้ลุ้นมากขึ้น ผู้ดำเนินรายการจะเดินมาเปิดประตูสักบานที่มีแพะอยู่ สมมติว่าเป็นประตูเบอร์ 3

 แน่นอนว่ามอนตี ฮอลล์ ผู้เป็นพิธีกรนั้นรู้ดีว่าประตูบานไหนมีรถยนต์ และประตูบานไหนมีแพะ ดังนั้นไม่ว่าเราเลือกประตูบานไหน เขาก็จะเดินมาเปิดประตูบานที่มีแพะได้เสมอ

 จากนั้นพิธีกรจะถามผู้ร่วมรายการว่าจะเปลี่ยนประตูที่เลือกไว้หรือไม่?

 ผู้ร่วมรายการบางคนก็เปลี่ยนประตูที่เลือกไว้ บางคนก็ยืนยันเลือกประตูบานเดิม

 เชื่อไหมว่า หากเราเปลี่ยนประตูที่เลือกไว้ หลังจากพิธีกรเดินมาเปิดประตูแพะ จะทำให้โอกาสได้รถยนต์กลับบ้านสูงกว่าการไม่เปลี่ยนประตู!

 นี่แหละคือปริศนามอนตี ฮอลล์ ถามว่าทำไมการเปลี่ยนประตูที่เลือกไว้ทำให้โอกาสได้รถยนต์สูงกว่าการไม่เปลี่ยนประตู?

 2

 ความน่าจะเป็น (Probability) เป็นปริมาณที่ค่อนข้างแปลกประหลาดกว่าปริมาณอื่นๆ ที่เรารู้จักกันในชีวิตประจำวัน เพราะเป็นปริมาณที่บ่งบอกถึงโอกาสในการเกิดเหตุการณ์บางอย่างว่ามีมากน้อยแค่ไหน มันไม่ใช่ปริมาณที่ชัดเจนเหมือนปริมาณอื่นๆ อย่างราคาสินค้า อุณหภูมิห้อง น้ำหนักตัว ฯลฯ

 ไม่น่าแปลกที่ความเข้าใจผิดเรื่องความน่าจะเป็นจะเกิดขึ้นเป็นเรื่องปกติ

 ในทางฟิสิกส์ หากเราคำนวณจุดตกของกระสุนปืนใหญ่ด้วยกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน เราจะได้ผลลัพธ์ออกมาเป็น ‘ตำแหน่ง’ ที่กระสุนปืนใหญ่ตกซึ่งมีความชัดเจน พูดง่ายๆ ว่าเราทำนายได้ว่าเมื่อยิงปืนใหญ่ออกไป กระสุนจะไปตกตรงไหนกันแน่

 แต่เมื่อพูดถึงความน่าจะเป็น ผลลัพธ์ที่ได้จะต่างออกไป

 กลศาสตร์ควอนตัม เป็นทฤษฎีฟิสิกส์ที่ใช้อธิบายปรากฏการณ์ของสิ่งที่เล็กในระดับอะตอมได้เป็นอย่างดี ธรรมชาติโดยทั่วไปของอนุภาคเล็กๆ นั้นถูกอธิบายด้วยความน่าจะเป็น

 ไฮโดรเจนเป็นธาตุที่ตรงกลางเป็นอนุภาคโปรตอนหนึ่งตัว ส่วนรอบๆ เป็นอิเล็กตรอนหนึ่งตัว เมื่อเราคำนวณเพื่อหาตำแหน่งของอิเล็กตรอนด้วยกลศาสตร์ควอนตัม ผลลัพธ์ที่ได้จะไม่ใช่ตำแหน่ง แต่เป็น ‘ความน่าจะเป็น’ ที่เราจะพบอิเล็กตรอนในตำแหน่งต่างๆ ซึ่งถูกแสดงออกมาในรูปของหมอกความน่าจะเป็น

 กล่าวคือ ตำแหน่งที่หมอกหนาคือตำแหน่งที่อิเล็กตรอนมีโอกาสไปอยู่มาก ส่วนตำแหน่งที่หมอกบางเป็นตำแหน่งที่อิเล็กตรอนมีโอกาสไปอยู่น้อย

 การขาดความชัดเจนในการทำนายตำแหน่งอิเล็กตรอนนี้เป็นพื้นฐานของกลศาสตร์ควอนตัมที่นักฟิสิกส์ทุกวันนี้ยอมรับกันดี แต่สมัยที่ทฤษฎีนี้ถือกำเนิดขึ้นมาใหม่ๆ นักฟิสิกส์ยุคดั้งเดิมอย่างอัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ เชื่อว่าทฤษฎีควอนตัมไม่ใช่ทฤษฎีที่สมบูรณ์ เขาเชื่อว่าธรรมชาติที่ขาดความชัดเจนนี้แท้จริงแล้วมีกฎบางอย่างอยู่เบื้องหลัง เพียงแต่นักฟิสิกส์ยังหาไม่เจอ แต่ทุกวันนี้นักฟิสิกส์กระแสหลักไม่เชื่อว่ามีกฎเบื้องหลังความน่าจะเป็นอย่างที่ไอน์สไตน์เชื่อ

 3

 คำเฉลยของปัญหามอนตี ฮอลล์ มีหลายรูปแบบหลายเวอร์ชัน แต่ผมจะเล่าให้ฟังสองแนวคิด

 วิธีคิดแรกคือ การแจกแจงรูปแบบที่เป็นไปได้อย่างตรงไปตรงมา

 กล่าวคือ เมื่อเราเลือกประตูบานที่ 1

 รูปแบบที่เป็นไปได้มี 3 กรณี

 กรณีที่ 1 คือ หลังประตูบาน 1 เป็นรถยนต์

 กรณีที่ 2 คือ หลังประตูบาน 2 เป็นรถยนต์

 กรณีที่ 3 คือ หลังประตูบาน 3 เป็นรถยนต์

 ดังนั้นเมื่อพิธีกรเปิดประตูแพะไปแล้วหนึ่งบาน การเลือกประตูบานเดิมแล้วมีโอกาสได้รถยนต์มีเพียงกรณีเดียวคือ กรณี 1 แต่ถ้าเปลี่ยนประตู โอกาสจะได้รถยนต์มีสองกรณีคือ กรณี 2 และ 3

 ดังนั้นการไม่เปลี่ยนประตูจึงมีโอกาสได้รถยนต์เพียง 1/3 ส่วนการเปลี่ยนประตูนั้นมีโอกาสได้รถยนต์ 2/3

 วิธีคิดที่สองคือ การมองว่า การเลือกประตูบานแรกมีโอกาสได้รถยนต์เพียง 1/3 โอกาสในการได้รถยนต์อีก 2/3 อยู่ที่ประตูทั้งสองที่เหลือ

 การเปิดประตูบานที่ 3 ออกไปหนึ่งบาน ทำให้โอกาสในการเจอรถยนต์หลังประตูบานนั้นเป็น 0 แต่ประตูอีกบานที่ยังไม่ได้เลือกก็ยังมีโอกาสเป็น 2/3 เช่นเดิม

 ถ้าใครฟังเฉลยทั้งสองวิธีแล้วยังนึกไม่ออก ลองจินตนาการว่า ในรายการนี้มีประตูทั้งหมด 100 บาน หนึ่งในประตูเหล่านั้นมีรถยนต์ ที่เหลือเป็นประตูแพะ

 ผู้ร่วมรายการลองเลือกประตูไปหนึ่งบาน สมมติว่าประตูหมายเลข 1 จากนั้นพิธีกรเดินมาเปิดประตูที่เหลือ 98 บานจนเหลือแค่บานที่คุณเลือกกับอีกหนึ่งบานที่เหลือ

 จากนั้นพิธีกรถามว่า คุณจะเปลี่ยนไปเลือกอีกบานหรือไม่? การเปลี่ยนไปเลือกประตูอีกบานมีโอกาสได้รถยนต์มากกว่าเห็นๆ จริงไหมครับ

 ถ้าคุณยอมรับว่ากรณีที่ทั้งรายการมีประตู 100 บานเป็นจริง ลองค่อยๆ ลดจำนวนประตูลงจนเหลือ 3 บาน ก็จะได้คำตอบว่าการเปลี่ยนประตูนั้นมีโอกาสได้รถยนต์มากกว่าอยู่ดี