อะตอมแห่งโลกจำนวน

 ริชาร์ด ไฟน์แมน (Richard Feynman) นักฟิสิกส์อัจฉริยะผู้สร้างทฤษฎีควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ (Quantum
Electrodynamics) เคยกล่าวไว้ทำนองว่า “หากอารยธรรมโลกต้องสูญสลายไปด้วยสงครามที่รุนแรง
จนส่งผลให้ความรู้ทางวิทยาศาสตร์ที่มนุษยชาติสั่งสมมาหายไปจนหมดสิ้น แต่ถ้าเราสามารถเลือกส่งข้อความไปยังมนุษย์รุ่นถัดไปได้เรื่องหนึ่ง
เราจะส่งความรู้เรื่องใดไป?”

 ไฟน์แมนเชื่อว่า สมมติฐานเรื่องอะตอมสำคัญที่สุดและสมควรได้รับการบอกเล่าส่งต่อ

 ในโลกแห่งเคมีและวัสดุ การเข้าใจธรรมชาติของอะตอมซึ่งเป็นหน่วยย่อยที่สุดของสสารต่างๆ
นั้นสำคัญอย่างยิ่ง เพราะทำให้นักวิทยาศาสตร์เข้าใจว่าสมบัติต่างๆ ของสสารนั้นเกิดจากอะไร
ทำให้พวกเขาสามารถสังเคราะห์สสารขึ้นมาได้อย่างเที่ยงตรงซ้ำแล้วซ้ำเล่าเท่าที่ต้องการ
หรือแม้แต่ช่วยออกแบบวัสดุให้มีคุณสมบัติตามที่ต้องการได้

 ตารางธาตุ (periodic table) ที่นักเรียนท่องจำกันจึงเป็นเหมือนแคตาล็อกที่ทำให้นักเคมีรู้ว่ามีชิ้นส่วนอะไรให้นำมาประกอบสร้างสรรค์วัสดุได้
หากปราศจากซึ่งตารางธาตุที่ครบถ้วนสมบูรณ์
นักเคมีก็อาจมีสภาพไม่ต่างจากนักภาษาศาสตร์ที่รู้พยัญชนะของภาษาหนึ่งไม่ครบถ้วน

 โชคดีที่โลกแห่งเคมีได้ค้นพบธาตุครบถ้วนแล้ว
(ธาตุที่หนักเกินกว่าธาตุในตารางธาตุเป็นพวกธาตุกัมมันตรังสีที่สลายตัวจนแทบไม่เหลือให้พบเห็นรอบตัวแล้ว)

 แต่โลกของจำนวนเต็มนั้นเป็นอีกเรื่อง

 .

 จำนวนเฉพาะ (prime number) คือจำนวนเต็มที่มีแค่
1 และตัวมันเท่านั้นที่หารได้ลงตัว เช่น 17 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีแค่ 1 และ 17 เท่านั้นที่หารได้ลงตัว แต่ 20 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
แต่เป็นจำนวนประกอบ เพราะมีจำนวนเต็มอื่นๆ ที่สามารถหารได้ลงตัว ได้แก่ 2, 4,
5, 10

 จำนวนเฉพาะจึงเหมือนอะตอมในโลกแห่งจำนวนเต็มที่สร้างจำนวนเต็มอื่นๆ
ขึ้นมาทั้งหมด แต่ธรรมชาติของจำนวนเฉพาะนั้นลึกลับเอาการ

 ย้อนกลับไปเกือบสองร้อยปีก่อน ค.ศ.1826 เด็กชายคนหนึ่งถือกำเนิดขึ้นมาในหมู่บ้านเล็กๆ ชื่อ Breselenz ในประเทศเยอรมัน
เขาเติบโตมาเป็นเด็กชายผู้เงียบขรึม ขี้อาย และสุขภาพไม่สู้ดีนัก
แต่พอเข้าโรงเรียนก็มีพรสวรรค์ด้านหนึ่งเปล่งประกายออกมา นั่นคือ
ความสามารถด้านคณิตศาสตร์

 เด็กน้อยคนนี้ส่งงานช้าเป็นประจำ เนื่องจากเขาเป็นพวกนิยมความสมบูรณ์แบบและชอบคิดอะไรด้วยตัวเองโดยไม่ไถ่ถามใคร

 ต่อมาเมื่อเข้ามหาวิทยาลัย
เขาเรียนด้านคณิตศาสตร์จนจบปริญญาเอก โดยมีอาจารย์ที่ปรึกษาเป็นสุดยอดนักคณิตศาสตร์โลกคือ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl
Friedrich Gauss)

 ชายผู้นี้มีนามว่า แบร์นฮาร์ด รีมันน์ (Bernhard Riemann) ผู้ที่ต่อมาได้กลายเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้มีผลงานกระหึ่มโลกทั้งในด้าน

 – การวิเคราะห์เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Analysis) เช่น นิยามที่ชัดเจนของการอินทิเกรตแบบจำกัดเขต (Riemann Integral) ซึ่งทุกวันนี้เราเรียนกันตั้งแต่ปี 1
ในวิชาแคลคูลัส

 –
เรขาคณิตแบบรีมันน์ (Riemannian Geometry)
ซึ่ง อัลเบิร์ต ไอน์สไตน์ นำไปใช้สร้างทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

 –
ทฤษฎีจำนวน (Number Theory)

 ผลงานในหมวดหมู่เรื่องทฤษฎีจำนวนนี้เองที่นำมาสู่การถือกำเนิดของปัญหาข้อหนึ่งที่ยากที่สุดในโลกคณิตศาสตร์ที่มีนามว่า ‘สมมติฐานของรีมันน์ (Riemann
Hypothesis)’ ในปี ค.ศ.1859

 ปัญหาข้อนี้สำคัญต่อโลกคณิตศาสตร์อย่างมาก เพราะมันสัมพันธ์อย่างแนบแน่นกับธรรมชาติของจำนวนเฉพาะซึ่งเป็นอะตอมแห่งโลกจำนวนเต็ม

 นักคณิตศาสตร์มากมายพยายามแก้ปัญหานี้มาตลอด
แต่ก็ยังแก้ไม่ได้เสียที

 ค.ศ. 2000 สถาบันคณิตศาสตร์เคลย์
(Clay Mathematics Institute)
ได้ประกาศปัญหาสำคัญในโลกคณิตศาสตร์ 7 ข้อ ซึ่งผู้ใดที่แก้ปัญหาได้จะได้รับเงินรางวัลหนึ่งล้านเหรียญสหรัฐฯ
ต่อปัญหาหนึ่งข้อ (Millennium Prize Problems)

 หนึ่งในนั้นคือ สมมติฐานของรีมันน์ (Riemann hypothesis)

 ซึ่งการพิสูจน์สมมติฐานของรีมันน์สามารถอ่านได้จากส่วนอธิบายเพิ่มเติม

 แต่นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าหากพิสูจน์ปัญหานี้ได้จะทำให้โครงสร้างการกระจายตัวของจำนวนเฉพาะที่เป็นปริศนามาตลอดถูกคลี่คลาย
ซึ่งหลายคนเชื่อว่ามันจะนำมาซึ่งการปฏิวัติขนานใหญ่เกี่ยวกับโลกคณิตศาสตร์และเทคโนโลยีการเข้ารหัส

 อย่างไรก็ตาม
ในตอนนี้นักคณิตศาสตร์ทั่วโลกต่างพยายามเต็มที่เพื่อแก้ปัญหานี้
แต่ไม่มีใครรู้เลยว่าเราเข้าใกล้คำตอบแค่ไหน

 บางทีความพยายามโดยไม่รู้ว่าปลายทางอยู่ตรงไหนนั้นอาจเป็นปัญหาที่แท้จริงของมนุษย์เราทุกคนก็ได้

 อธิบายเพิ่มเติม

 สมมติฐานของรีมันน์สามารถทำความเข้าใจได้ไม่ยาก
โดยเริ่มจาก

 เรียกว่า ฟังชันก์เซตาของรีมันน์ (Riemann zeta function) โดยที่
s เป็นจำนวนเชิงซ้อน

 ฟังก์ชันดังกล่าวจะมีค่าเปลี่ยนไป ขึ้นอยู่กับว่า s มีค่าเท่าใด

 คำถามคือ s ต้องมีค่าเท่าใดจึงจะทำให้ฟังก์ชันนี้มีค่าเป็น
0

 คำตอบแบ่งออกเป็นสองส่วนคือ

 1. s
มีค่าเป็นจำนวนติดลบคู่ เช่น
-2, -4, -6, -8, …
ซึ่งไม่น่าสนใจเพราะนักคณิตศาสตร์เห็นปุ๊บก็รู้ได้ทันที

 2. รีมันน์เชื่อว่าค่า s อื่นๆ ที่ทำให้ฟังก์ชันมีค่าเป็น
0 นั้นสามารถเขียนได้ในรูป s = ½+ti เท่านั้น โดยที่
t นั้นมีได้หลายค่า

 ส่วนความเชื่อมโยงกับจำนวนเฉพาะนั้นค่อนข้างซับซ้อนและมีมากมายหลายทาง
หนึ่งในนั้นคือการเชื่อมโยงผ่านผลคูณของออยเลอร์ กล่าวคือ
รีมันน์ซีตาฟังก์ชันสามารถเขียนได้ในรูปผลคูณที่มีจำนวนเฉพาะประกอบอยู่ในนั้นได้ดังนี้